¿Que es un conjunto?

 

   Para otros usos de este término, véase Conjunto (desambiguación).En matemáticas, un conjunto es una agrupación de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos del conjunto pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto.1 Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta




   SUBCONJUNTO

     Sean los conjuntos A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 }

     En este caso decimos que B esta contenido en A, o que B es subconjunto de A. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A también.

     Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe B Ì A. Si B no es subconjunto de A se indicará con una diagonal Ë .

Note que Î se utiliza solo para elementos de un conjunto y Ì solo para conjuntos.Conjunto Universal :
     De este se toman los elementos para describir un conjunto particular de interés, se denota  U.
     Ejemplo:

     Existen varias formas de representar un conjunto, puede ser de forma descriptiva, enumerativa y gráfica. También dentro de las formas de operar un conjunto tenemos: Unión, intersección, diferencia, Diferencia simétrica, complemento, producto cartesiano. Ahora nosotros, vamos a conocer un poco más de la teoría de conjuntos.

Conjunto Vacío 
     Es un conjunto que no tiene elementos {}, su cardinalidad es cero y además es subconjunto o igual de cualquier conjunto ∅⊆A (Teorema # 2) • ∀x[x∈U→x∉∅].

   Tipos de Conjuntos
 
*Conjunto finito: en este conjunto los elementos o miembros que los conforman pueden ser enumerados o contados. Por ejemplo, el agrupamiento de todas las letras del abecedario confirmaría un conjunto de esta clase.

*Conjunto infinito: en estos conjuntos, los miembros que lo conforman no pueden ser enumerados ni contados. Un ejemplo de conjunto infinito sería todos los granos de arena del planeta.

 * Conjunto unitario: estos conjuntos están conformados por un solo miembro o elemento, por ejemplo, la letra A.Ejemplo:

 * Conjunto vacío: estos conjuntos carecen de elementos o bien, estos son inexistentes, por ejemplo un unicornio, en el caso del elemento inexistente.Ejemplo:

 * Conjunto referencial: a este conjunto también se la conoce como universal y se caracterizan por estar conformados por los miembros de todos los elementos que forman parte de la caracterización. Por ejemplo: el conjunto A esta compuesto de 1,3, 5, 7 y el B por 2, 4, 6. Mientras que el conjunto universal es 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.Otro ejemplo:

 * Conjuntos disyuntivos: estos conjuntos no poseen ningún elemento o miembro que coincida. Esto también se lo puede expresar diciendo que la intersección entre los conjuntos disyuntivos es el conjunto vacío. Por ejemplo el grupo A contiene los elementos a, b, c, d mientras que el B e, f, g, h. Los conjuntos A y B entonces no tienen ningún elemento en común.Ejemplo:

 *Conjuntos equivalentes: son aquellos conjuntos que poseen el mismo número cardinal, lo que significa que contienen la misma cantidad de elementos. Por ejemplo el conjunto A es 1, 2, 3, 4 y el B a, b, c, d, por tanto A y B son equivalentes.Otro ejemplo seria:

 *Conjuntos iguales: esto se da cuando dos o más conjuntos contienen iguales elementos. Por ejemplo el conjunto A es 2, 4, 6, 8 y el B es 8, 6, 4, 2. Ambos conjuntos son iguales por que poseen los mismos elementos, sin importar su orden.

*Conjuntos congruentes: aquí pertenecen aquellos conjuntos numéricos cuyos respectivos miembros se corresponden uno a uno de modo que la distancia entre ellos se conserve, por ejemplo: el conjunto A es: 2, 4, 6, 8, 10 mientras que B es 7, 9, 11, 13, 15. De esta manera, 10 y 15, 8 y 13, 6 y 11, 4 y 9, 2 y 7 mantienen entre sí una distancia de 5.
 *Conjuntos no congruentes: en estos conjuntos, en cambio, no se establece correspondencia alguna entre sus miembros, por lo que la distancia entre los elementos es inconstante. Por ejemplo, el conjunto A es 2, 4, 6, 8, 10 mientras que B es 4, 5, 6, 7, 8.
 *Conjuntos homogéneos: en estos conjuntos los elementos o miembros que los componen responden al mismo género o tipo. Por ejemplo el conjunto A que contiene los elementos 1, 5, 3, 7, 6, 8. Aquí todos sus elementos son números por lo que conforman un conjunto homogéneo.
 *Conjuntos heterogéneos: estos conjuntos están compuestos por elementos que corresponden a distintos tipos, géneros o clases, por ejemplo, el conjunto A es 2, j, perro, azul.

Igualdad de conjuntos:
     Tienen los mismos elemetos:
     • A=B ↔ ∀x [x∈A ↔ x∈B]
     • A=B ↔ A⊆B ∧ B⊆A (Teorema # 1)

Inclusión:
     Todo elemento de A es elemento de B
    • A⊆B ↔ ∀x [x∈A → x∈B]
    • A⊆B ∧ B⊆C → A⊆C (Teorema # 3)

Inclusión propia:
     Todo elemento de A es elemento de B y existe un elemento de B que no es elemento de A
    • A⊂B ↔ {∀x [x∈A → x∈B] ∧ ∃x [x∈B ∧ x∉A]}

 Operaciones con conjuntos

   Unión de cojuntos:

     conjunto de elementos que pertenece a A o a B o a ambos a la vez.

    • A∪B = {x/ x∈A ∨ x∈B}

    • ∀x [x∈(A∪B) ↔ (x∈A ∨ x∈B)]

   Intersección de conjuntos:

     conjunto de elementos que pertenecen a A y a B a la vez.

     • A∩B = {x/ x∈A ∧ x∈B}

     • ∀x [x∈(A∩B) ↔ (x∈A ∧ x∈B)]

   Complemento:

     conjunto de elementos que pertenecen a U y no pertenecen a A.

     • Ā= {x/ x∈U ∧ x∉A}

     • ∀x [x∈ Ā ↔ (x∈U ∧ x∉A)]

   Diferencia de conjuntos:

     Conjunto de todos los elementos de A que no pertenecen a B.

     • A-B = { x/ x∈A ∧ x∉B}

     • ∀x [x∈(A-B) ↔ (x∈A ∧ x∉B)]

   Diferencia simétrica de conjuntos:

     conjunto de elementos que pertenecen a A o a B y no pertenecen a su intersección.

     • AΔB = {x/x∈(A∪B) ∧ x∉(A∩B)}

     • ∀x [x∈(AΔB) ↔ ((x∈A ∨ x∈B) ∧ ¬(x∈A ∧ x∈B))]

   Algunas Relaciones:
     |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|                  A Δ B = (A-B) ∪ (B-A)
      A - B = A ∩B                                            A Δ B = (A ∩B ) ∪ (B ∩ Ā)

      A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)                          Ā = U - A

      A Δ B = (A ∪ B) ∩ (A∩B)

      |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

Familia de conjuntos:

 Es un conjunto cuyos elementos a su vez son conjuntos.

 • Familia indizada de conjuntos:

-F = { {1}, {2}, {3} }

-F = { A1, A2, A3 }

-F = { Ai / i∈I} Donde I = {i/ i∈Z}

 Producto de Conjuntos:

     A = {1, 2} y B = {1, 2, 3}

     A × B ={(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)}

     Sean A, B y C tres conjuntos se cumple que:

     • A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)

     • A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)

   Leyes de la teoría  de conjuntos:

     A ∪ B = B ∪ A                                                 Ley conmutativa de la ∪.

     A ∩ B = B ∩ A                                                 Ley conmutativa de la ∩.

     

     A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C                               Ley asociativa de la ∪.

     A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C                                Ley asociativa de la ∩.

     A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)                      Ley distributiva de la ∪ respecto de la                                                                       ∩   por la   izquierda.

     A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)                      Ley distributiva de la ∩ respecto de la                                                                        ∪   por la   izquierda.

     A ∪ (A ∩ B) = A                                              Ley de absorción de la ∪.

     A ∩ (A ∪ B) = A                                              Ley de absorción de la ∩.

     (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc                                         Ley de De Morgan de la ∪.

     (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc                                         Ley de De Morgan de la ∩.

    

      A ∪ A = A                                                     Ley de idempotencia de la ∪.  

      A ∩ A = A                                                     Ley de idempotencia de la ∩.  

     A ∪ U = U

     A ∪ ∅ = A                                                    Leyes de identidad de la ∪ y de la ∩.

     A ∩ U = A

     A ∩ ∅ = ∅

     A ∪ Ac = U                                                     Leyes de complementación de la ∪ y                                                                            de la ∩.

     A ∩ Ac = ∅

     (Ac)c = A                                                         Ley de doble complemento.                                        


     ** Breve reseña genérica de Teoría de conjuntos, cualquier duda consultar con el profesor(a) encargado de su asignatura.